Marcelo Viana (IMPA)
A resolução de equações (encontrar o ''valor de x'') é um dos problemas mais básicos e antigos da Matemática, motivado desde sempre por problemas concretos da vida diária. Vamos utilizar este problema como fio condutor de uma digressão através da Matemática - da Aritmética aos Sistemas Dinâmicos, passando pela Análise Numérica - e através da História - da Antiguidade aos dias de hoje.
12 de Fevereiro de 2006
Carlos Fiolhais (Universidade de Coimbra)
Faz-se uma abordagem da lei da queda dos graves levando os alunos progressivamente a entenderem as ideias que conduziram Newton à descoberta/invenção do cálculo diferencial. Também será abordada a modificação necessária para descrever a queda dos graves sob presença do ar ou outro meio, entendendo-se assim a ideia aristotelica de que "corpos pesados caiem mais rápido do que os leves"; o que como se sabe não acontece no vácuo.
11 de Março de 2006
Diogo Aguiar Gomes (Instituto Superior Técnico)
Nesta conferência vamos apresentar alguns métodos elementares para o estudo de sucessões, somas e séries, bem como algumas das suas aplicações.
8 de Abril de 2006
Paulo Eduardo Oliveira (Universidade de Coimbra)
Apresenta-se a fundamentação das probabilidades, permitindo utilizar os grandes resultados para justificar as abordagens intuitivas. Descrevem-se algumas das ideias que têm, nas últimas décadas, servido de base aos métodos de construir aproximações a partir de observações
29 de Abril de 2006
Jorge Picado (Universidade de Coimbra)
Embora os nós existam há milhares de anos, só despertaram o interesse de matemáticos, cientistas e curiosos nos finais do séc. XIX. Desde então, a teoria matemática dos nós, que se desenvolveu muito na segunda metade do séc. XX, tenta dar resposta a questões tão simples quanto "Todos os nós são iguais?", "Como classificar os nós?" ou "Quando é que dois nós são iguais?" (por exemplo, "Quando é que um nó é cego?", "Quando é que um nó se desfaz?").
Embora possa parecer um assunto de pouca relevância, é crucial saber se um nó se pode desfazer puxando as extremidades. Imagine-se, por exemplo, se os nós da corda de um alpinista se desfizessem ao esticar a corda...
As respostas a estas questões, quando existem, estão longe de ser simples. Veremos, no entanto, que muitos dos entrançamentos que ocorrem num nó podem ser descritos de um modo muito simples, através dos números racionais e das suas fracções contínuas, numa teoria muito elegante que se deve ao matemático J. H. Conway.
3 de Junho de 2006
Dinis Pestana (Faculdade de Ciências de Lisboa)
Prever, planear, favorecer a ocorrência do que consideramos bom e tentar evitar o que nos parece mau, é uma vocação humana, que nos obriga a lidar com a incerteza. O facto de a Matemática ter começado a domesticar o acaso no século XVII, com a criação da Probabilidade, fez mudar de mãos -- e de aspecto -- a bola de cristal com que se espreita o futuro. De facto, a simples consideração da probabilidade conjunta (ou da intersecção) faz surgir duas ideias complementares, a de independência e a de associação, a primeira essencial na construção de modelos estruturais simples, a segunda essencial no estudo da ligação entre fenómenos diversos, e na tentativa moderna de espreitar para o futuro. A ideia de regressão, criada por Galton nos finais do século XIX, permite-nos prever, com alguma incerteza que podemos delimitar, e assim prevenir o que não nos agrada, e tentar contribuir para a realização do que nos favorece, individual ou colectivamente. Apresentamos algumas ideias simples sobre correlação e rgressão, e discutimos as potencialidades e limites destas técnicas.
29 de Junho de 2006
Wiland SCHMALE (Universidade de Oldenburgo, Alemanha)
How computes your mobile phone and why. A lecture involving the students. A tiny part of preliminary "mathematics for mobile generations" is introduced in detail. You will use your pen and learn to do and interpret some basic computations the way your mobile does it a million times and more. Based on this experience the related encoding and decoding process is illustrated by an example.
14 de Outubro de 2006
Luis Nunes Vicente (Universidade de Coimbra)
Nesta comunicação tentar-se-á, de forma o mais auto-contida possível, ilustrar alguns dos conceitos elementares da Matemática Financeira, não apenas matemáticos como também financeiros. De um ponto de vista financeiro, falaremos, essencialmente, sobre activos financeiros (como as acções cotadas em bolsa) e derivados financeiros (por exemplo, as opções). Mostraremos a importância do cálculo estocástico e das equações diferenciais na modelação destes instrumentos financeiros. De passagem, abordaremos noções como o valor temporal do dinheiro, o retorno, a arbitragem, o risco e a neutralidade face ao risco.
13 de Janeiro de 2007
Ana Maria Almeida (Universidade de Coimbra)
Será que todos os problemas têm solução? E essa solução pode ser sempre conseguida? Haverá problemas mais difíceis e problemas mais simples de resolver?
Nesta lição, vamos fazer uma pequena viagem ao mundo em que um problema é um objecto matemático e ver que, nem sempre o que parece simples o é....
10 de Março de 2007
Carlos Tenreiro (Universidade de Coimbra)
Desde a sua descoberta por Abraham de Moivre (1667-1754) a lei normal é considerada, com razão, a mais importante das leis do acaso. Nesta exposição apresentam-se diversos fenómenos aleatórios que podem ser descritos por esta lei do acaso e descrevem-se algumas das suas aplicações ao cálculo de probabilidades e à inferência estatística.
14 de Abril de 2007
Artur Soares Alves (Universidade de Coimbra)
A Teoria de Jogos é um capítulo da Matemática que se ocupa da análise de todo o tipo de conflitos -- sociais, económicos, políticos, militares, etc. -- segundo o modelo de um jogo cujas regras serão mais ou menos rígidas e
mais ou menos conhecidas pelos jogadores, segundo o modelo que se esteja a seguir. Neste sentido a Teoria de Jogos utiliza o método lógico e analítico da Matemática para compreender a realidade e encontrar soluções óptimas para problemas reais, provenientes da manifestação de interesses contraditórios
sobre os mais diversos assuntos. A utilidade desta análise lógica manifesta-se quer nos "pequenos conflitos", por exemplo, de tipo laboral, quer nos grandes conflitos internacionais.
23 de Junho de 2007
Artur Soares Alves (Universidade de Coimbra)
Os relógios de Sol equatoriais -- cujo plano é paralelo ao Equador terrestre -- são os mais exactos. Porém, têm dois problemas de construção: (1) garantir o paralelismo com o Equador e (2) possibilitar o seu uso no Outono e no Inverno, isto é, quando o Sol está abaixo do Equador. Dom Bedos foi um monge francês do século XVIII que se distinguiu pelas suas invenções em vários domínios, incluindo o dos instrumentos musicais. A sua solução para os dois problemas indicados permitiu a construção de relógios de Sol portáteis muito mais exactos do que os da geração anterior. O que veremos com mais interesse é a geometria inerente a esta invenção.
10 de Novembro de 2007
Carlota Simões (Universidade de Coimbra)
Na exposição Matemática Viva no Pavilhão do Conhecimento encontra-se um módulo que consiste na reprodução em computador de um jogo de salão, muito simples, que se julga ter sido concebido por Mozart. Apesar de simples, este jogo permite produzir muitos milhares de composições musicais diferentes, todas elas ao estilo de Mozart. Quanto tempo levaria um pianista a reproduzir a totalidade? Como transferir o conceito de simetria para a música? E que relações podem encontrar-se entre uma peça musical e um vitral? Para além de respondermos a estas questões, veremos ainda como utilizar a musica e a escala de 12 notas na definição de alguns conceitos matemáticos.
29 de Março de 2008
José Manuel dos Santos Simões Pereira (Universidade de Coimbra)
8 de Novembro de 2008
Maria Celeste Gouveia (Universidade de Coimbra)
Dos axiomas ao cálculo integral.
13 de Dezembro de 2008
José Miguel Urbano (Universidade de Coimbra)
Considere-se um volume unitário de gelo e aplique-se uma fonte de calor de intensidade uniforme. Uma observação a nível macroscópico revela que a temperatura aumenta até atingir o zero e permanece depois constante até uma certa quantidade de calor adicional (o calor latente da transição de fase) ser fornecida. Após o gelo ter fundido, a temperatura volta a aumentar. O problema matemático subjacente envolve uma equação com derivadas parciais não-linear e consiste em determinar tanto o campo de temperaturas como a superfície através da qual se dá a transição de fase; esta, por ser desconhecida a priori, designa-se por fronteira livre. Nesta palestra, procurar-se-á evidenciar a relação entre as principais características físicas do fenómeno, a estrutura não-linear da equação e as propriedades locais das suas soluções.
10 de Janeiro de 2009
João Filipe Queiró (Universidade de Coimbra)
Nesta palestra expõe-se resumidamente o fundamento matemático do algoritmo de ordenação de páginas da Internet utilizado pelo Google.
14 de Fevereiro de 2009
Olga Azenhas ( Universidade de Coimbra)
Definem-se uns números que dependem de um triplo de sequências binárias. Estes números contam certos objectos cuja fronteira é definida, num certo sentido, por esses triplos. Utilizaremos esses objectos para vermos algumas das suas simetrias: este números são invariantes para determinadas operações no triplo de sequências binárias.
7 Março de 2009
Paula de Oliveira (Universidade de Coimbra)
8 Julho de 2009
José António Paixão (Departamento de Física da Universidade de Coimbra)
De Galileu a Einstein, passando por Newton, Lagrange, Dirac e outros físicos/matemáticos famosos, seis pequenas histórias envolvendo estes personagens que ilustram, para os jovens délficos, a frutuosa simbiose entre a física e a matemática.
10 Julho de 2009
Nazaré Lopes (Universidade de Coimbra)
A ocorrência de fenómenos (aleatórios) raros será discutida, e avaliada probabilisticamente, através da introdução da distribuição de Poisson. Esta distribuição surgirá como limite da lei binomial que, como é já do conhecimento dos estudantes, descreve o número de ocorrências de um acontecimento em n (fixo /a priori/) realizações idênticas e independentes de uma experiência ou fenómeno aleatório. Este estudo permitirá introduzir de forma intuitiva, mas rigorosa, uma probabilidade discreta de suporte não finito. Algumas propriedades da distribuição de Poisson serão analisadas, sendo dado particular relevo, pelo seu interesse prático, à propriedade de estabilidade para somas. A distribuição de Poisson, dita também dos fenómenos raros, será então usada para ilustrar a viabilidade das conclusões estatísticas em amostras de baixa dimensão. Este estudo será acompanhado e motivado por situações práticas reais, designadamente ligadas às Ciências da Saúde, onde a recolha de grandes amostras é, em geral, inviável.
Fenómenos raros, pequenas amostras e lei de Poisson (pdf)
4 Setembro de 2009
Francisco Craveiro de Carvalho (Universidade de Coimbra)
7 Novembro de 2009
M. Arala Chaves (Universidade do Porto)
Ao estudarmos do ponto de vista matemático os frisos e padrões num plano, a primeira questão que surge é a da escolha dos critérios segundo os quais consideramos dois padrões (ou dois frisos) como sendo equivalentes. Uma vez definidos esses critérios, podemos então consagrar-nos à classificação dos padrões (ou frisos) encontrados, isto é, à sua repartição em diferentes classes. Usando um DVD produzido pelo Atractor, daremos uma ideia essencialmente geométrica de como associar a cada padrão (ou friso) um carimbo e de como substituir o problema atrás referido pelo da classificação dos carimbos. Mas só haverá os carimbos que estão no DVD?... Ou terão ficado de fora alguns outros esquecidos?...
4 de Dezembro de 2010
Adérito Araújo (Universidade de Coimbra)
Uma história verdadeira de polícias, advogados, matemáticos e condutores distraídos onde se mostra como a ciência pode ajudar a reconstruir um acidente rodoviário.
Slides disponíveis aqui.
13 de Setembro de 2013
Jorge Picado (Universidade de Coimbra)
Passearemos por alguns problemas da teoria dos números, ligando três gigantes da matemática: Euclides, Galois e Gauss. Ponto de partida: um problema sobre os inteiros primos (de Euclides). Identificaremos a estrutura que está encondida neste e noutros problemas análogos envolvendo funções bem conhecidas da aritmética e da teoria dos números: as conexões de Galois! Isso mesmo, o tipo de conexão que Galois descobriu entre os corpos intermédios de uma extensão de Galois e os subgrupos do correspondente grupo de Galois (que lhe permitiu resolver o famoso problema da resolubilidade de equações algébricas), e que não é mais nem menos que um exemplo muito particular do conceito chave da moderna Teoria das Categorias (o conceito de adjunção) que está na base de muitos teoremas importantes da matemática que relacionam áreas distintas (nas palavras de Mac Lane, "adjunctions arise everywhere"). Veremos como as conexões de Galois, combinando grande clareza estrutural e facilidade computacional, nos permitem solucionar os nossos problemas sobre inteiros de uma maneira surpreendentemente simples e elegante, resolvendo-os (tal como Galois) no lado da conexão onde a informação é mais completa. Daqui seguimos para uma análise da extensão da noção de primo (euclidiano) a domínios diferentes dos inteiros, nomeadamente ao domínio dos inteiros de Gauss. Questões a discutir:
- Quais primos euclidianos são primos de Gauss?
- Na recta real não é possível passear desde a origem até ao infinito saltando de primo em primo, usando passos de comprimento limitado. E no plano complexo? Será possível, saltando de primo (gaussiano) em primo (gaussiano)?
Slides disponíveis aqui.
11 de Janeiro de 2014
Adérito Araújo (Universidade de Coimbra)
Usaremos o princípio do tempo mínimo de Fermat para o caminho percorrido pela luz para derivar as leis da reflexão e da refracção. Posteriormente analisaremos a passagem da luz por uma gota de água para explicar qualitativamente o fenómeno do arco-íris.
12 de Setembro de 2014 e 7 de Outubro de 2017
João Fernandes (Universidade de Coimbra)
Nesta palestra aborda-se como a natureza matemática da Lei de Planck pode ser usada para descrever as propriedades fundamentais das estrelas. Trata-se de uma equação que traduz o valor da radiação emitida por um corpo negro, de dada temperatura, em função do comprimento de onda ou da frequência. São ainda discutidos outros exemplos de interacção entre a Matemática e a Astronomia, tal como o método de determinação do raio da Terra de Eratóstenes, a simulação da interacção entre galáxias e a trajectória da missão Rosetta. 10 de Janeiro de 2015
Slides disponíveis aqui
10 de Janeiro de 2015
Sílvia Barbeiro (Universidade de Coimbra)
A compressão de imagens digitais é um procedimento que consiste em reduzir a quantidade de dados necessários para as representar e torna-se muito importante não só pela sua aplicação no armazenamento da informação mas também na sua transmissão. As imagens digitais podem ser representadas por matrizes. Existem ferramentas matemáticas que permitem escrever as matrizes de modo a que seja possível distinguir a parte mais significativa da informação da parte menos relevante. Usando apenas uma pequena parte da informação é possível gerar matrizes que representam imagens visualmente muito semelhantes às originais. Os resultados são surpreendentes!
7 de Março de 2015
João Soares (Universidade de Coimbra)
Em situações de negociação onde as intenções dos intervenientes não estão alinhadas pode haver benefícios mútuos se os intervenientes decidirem cooperar. Não havendo formas de fixar os intervenientes a decisões antecipadas, surge o dilema, confiar ou não no outro. Curiosamente, a matemática ilumina um pouco deste fenómeno. Analisaremos alguns modelos matemáticos, teóricos e práticos, que ajudam a perceber um certo tipo de decisão estratégica.
9 de Abril de 2016
Carlota Simões (Universidade de Coimbra)
Só em meados do século XVIII, com o cronómetro H4 de John Harrison, ficaria definitivamente resolvido o problema da determinação da longitude. No entanto, já no século XVI, portugueses e espanhóis mantinham carreiras regulares entre a Europa, a Ásia e as Américas, usando apenas o Sol e as estrelas como guias. Já nessa altura, a latitude era facilmente determinada a partir da observação da Estrela Polar no Hemisfério Norte, do Cruzeiro do Sul no Hemisfério Sul, ou do Sol na sua passagem meridiana a norte e a sul do Equador. Mas que cálculos eram feitos a bordo, que permitiam determinar a posição de uma caravela em alto mar apenas a partir da observação de astros a tão grande distância no espaço? E porque é que as resoluções dos problemas da latitude e da longitude ficaram separadas no tempo por mais de dois séculos?
2 de Julho de 2016
Jorge Picado (Universidade de Coimbra)
O grande combinatorialista do século XX Gian-Carlo Rota (1932-1999) escreveu, em 1997, que a Matemática é o estudo de
"analogies between analogies. All science is. Scientists want to show that things that don't look alike are really
the same. That is one of their innermost Freudian motivations. In fact, that is what we mean by understanding."
Nesta lição ilustraremos esta ideia com o próprio trabalho seminal de Rota no estabelecimento das fundações da combinatória. Veremos como Rota, com a ajuda da visão conceptual geral da teoria dos reticulados, importou as ideias do séc. XIX da inversão de Möbius (da teoria dos números) para a combinatória, e as generalizou, permitindo com isso transformar, com um simples processo de (quase-)inversão, problemas difíceis de contagem enumerativa em problemas equivalentes mais simples, de um modo muito revelador e unificador .
18 de Março de 2017
Gonçalo Gutierres da Conceição (Universidade de Coimbra)
No nosso país, e em geral na Europa continental, prevalece um sistema de representação proporcional na eleição dos respectivos parlamentos. Porque os deputados são indivisíveis, qualquer sistema de representação proporcional implica arredondamentos, e portanto não é exacto. O método aplicado em Portugal para obter uma distribuição dos deputados é o método d'Hondt, mas outros países aplicam métodos alternativos. Nesta sessão vamos mostrar no que consiste o método D'Hondt e explicar por que motivos ele é mais (ou menos) democrático do que outros sistemas de votação.
11 de Novembro de 2017
José Luis Santos (Universidade de Coimbra)
O conceito de redes aparece frequentemente na vida quotidiana, como por exemplo na rede de transporte, na rede de distribuição eletrica, na rede de comunicação e muitas outras. Estas estruturas caraterizam-se por ter um conjunto de objetos (por exemplo cidades) e ligações entre eles (por exemplo estradas) que indicam as transições que são permitidas. A cada ligação podemos associar um valor o qual representa, por exemplo, o custo, a distância ou o tempo de a percorrer. Temos então reunidos os ingredientes principais para definir um problema de otimização em redes. Nesta sessão irão ser referidos os problemas do trajeto mais curto, da árvore de cobertura mínima e o problema do caixeiro viajante, discutidas aplicações e apresentados algoritmos para a sua resolução.
20 de Janeiro de 2018
Amílcar Branquinho (Universidade de Coimbra)
O objectivo desta lição é o resolver colectivamente alguns problemas matemáticos.
A surpreendente precisão e rapidez com que os computadores trabalham pode levar-nos a esquecer as suas limitações na análise do infinitamente grande ou pequeno.
Ilustraremos com exemplos computacionais algumas destas situações.
28 de Abril de 2018
Maria da Graça Temido (Universidade de Coimbra)
A arte de prever resultados em futebol tem recebido a atenção de muitos estatísticos devido à sua importância, quer no contexto dos sistemas de apostas quer no impacto que este desporto tem na sociedade em geral. Golos, vitórias, derrotas, apostas e odds fazem parte de um mundo onde a matemática e a imprevisibilidade do futebol se combinam de forma tão bela quanto rigorosa. Nesta palestra mostramos como se calculam as probabilidades e as odds associadas ao número de golos num confronto entre duas equipas. Propomos ainda uma adaptação destes cálculos, quando a escassez ou a abundância de golos perturbam as expetativas dos apostadores.
15 de Dezembro de 2018
Fátima Silva Leite (Universidade de Coimbra)
Esta palestra é sobre a matemática das rodas exóticas (rodas que sobem e descem escadas, rodas poligonais e outras mais ...). Ficarás a saber como pode uma tal roda rolar sem deslizar e sem solavancos sobre uma estrada. Na bagagem para esta viagem seguem algumas das mais famosas curvas planas, já estudadas pelos matemáticos do século XVII, tais como: cardióides, catenárias, ciclóides e espirais de Bernoulli.
Material de apoio:
19 de Janeiro de 2019
Amílcar Branquinho (Universidade de Coimbra)
São muitos os modelos da biologia, física ou economia, que quando matematicamente formulados dão lugar a potências sucessivas de um número, ou de potências em que a base varia assim como o seu expoente. O conjunto destas potências é numerável e no seu estudo aplica-se com frequência o binómio de Newton. Desta fórmula, com alguma audácia, obteremos desigualdades variadas de grande interesse matemático.
Nesta lição trataremos questões de complexidade crescente relacionados com a construção dos números e dos processos infinitos a ela associados, destacando ainda os métodos poderosos de demonstração de teoremas devidos a Arquimedes e Peano.
7 de Novembro de 2020
João Fernandes (Universidade de Coimbra)
As estrelas são astros verdadeiramente fascinantes. As estrelas são grandiosos laboratórios onde ocorrem processos físicos e químicos em condições termodinâmicas muito diferentes (e não reprodutíveis na Terra). Por exemplo, a temperatura no interior do Sol varia entre quase seis milhares de graus na sua superfície e cerca de quinze milhões de graus no seu centro. E tudo isto em menos de 700 mil quilómetros, o raio solar. Por outro lado, as estrelas devido às reações termonucleares que ocorrem no seu núcleo (e à sua evolução) asseguram a contínua produção de novos elementos químicos do Universo. E ainda, graças ao interesse no estudo nas estrelas a Humanidade tem podido construir potentes infraestruturas destinadas à observação astronómica: telescópios em terra e no espaço. Mas tudo isto é usual vermos em informação pública. O que é, talvez, menos conhecido é a matemática que está na base do que sabemos (ou pensamos saber!) sobre a estrutura interna e evolução do Sol, em particular, e das estrelas em geral. É sobre este tema que se foca a palestra.
12 de Dezembro de 2020
Afonso Bandeira (ETH Zurich)
Testagem em Grupo, o Método Probabilístico, e um Teorema de Sperner.
30 de Janeiro de 2021
Joel Moreira (University of Warwick)
20 de Março de 2021
Fernando Figueiredo (Universidade de Coimbra)
19 de Fevereiro de 2022
Sílvia Barbeiro (Universidade de Coimbra)
Nesta sessão vamos explorar ferramentas matemáticas aplicadas ao processamento de imagens digitais.
14 de Maio de 2022
Edgard A. Pimentel (Universidade de Coimbra)
Sabemos que a Matemática está em (quase) tudo: nas formas da natureza, na tecnologia do GPS, nos mecanismos que tornam transações bancárias seguras, e em muitas outras partes. Começamos a palestra a comentar sobre estes exemplos, e seguimos para uma discussão detalhada da Matemática em três arenas fascinantes: as artes, a formação de pares e o sistema eleitoral.
3 de Dezembro de 2022, 10h45m, Sala GT (Gomes Teixeira) do DMUC