Jorge Neves (Universidade de Coimbra)
Quem foram os matemáticos que deram início à Geometria Algébrica? Que outros matemáticos o continuaram até aos dias de hoje? Porque é que atualmente se estuda Geometria Algébrica? Estas são algumas das questões a que tentaremos dar resposta neste oráculo. Concretamente, daremos uma ideia de como são os objetos de estudo em Geometria Algébrica; fazendo referência às principais áreas de investigação, entre as quais à área das superfícies algébricas. Faremos ainda referência à longa lista de matemáticos galardoados com a medalha Fields que realizaram investigação em Geometria Algébrica e diremos como está atualmente a Geometria Algébrica relacionada com tantas outras áreas da Ciência, como sejam a teoria das cordas e o modelo standard, o mais recente modelo físico do nosso universo.
5 de Novembro de 2011
Amílcar Branquinho (Universidade de Coimbra)
Numa primeira parte apresentámos o problema e indicámos as contribuições mais relevantes de Boas, Stieltjes e Durán. Posteriormente mostrámos a relação estreita deste problema com a teoria dos polinómios ortogonais. No final apresentámos uma aplicação do teorema de representação de funções racionais em series de potências, a um teorema de Liouville sobre funções elementarmente primitiváveis de tipo exponencial.
17 de dezembro de 2011
João Gouveia (Universidade de Coimbra)
Polítopos convexos são objetos que generalizam a ideia de polígonos e poliedros para dimensões mais altas. A programação linear pode ser vista como otimizar um custo linear num polítopo, e é tão mais difícil quanto maior fôr o número de lados desse polítopo. Uma maneira de evitar essa dificuldade quando trabalhando com polítopos com muitos lados é escrevê-los como projeções de polítopos com menos lados, isto motiva a questão de, dado um polítopo, saber qual o menor número de lados que pode ter um polítopo que o tenha como "sombra". Uma elegante resposta a esta pergunta foi dada por Yannakakis e 1991, e tem motivado em anos recentes muitos trabalhos de investigação.
Neste oráculo começaremos por introduzir os conceitos básicos de teoria de polítopos, introduziremos a programação linear e toda a teoria necessária para podermos enunciar o Teorema de Yannakakis, ilustrando todo o procedimento com variados exemplos.
(Slides aqui)
17 de março de 2012
Alfredo Costa (Universidade de Coimbra)
Um conjunto de estados que segue uma evolução regida por uma determinada coleção de leis é um sistema dinâmico. Por exemplo, o sistema solar é um sistema dinâmico. Trata-se de um sistema contínuo, dado que os planetas evoluem continuamente no tempo e no espaço. Desde há cerca de 100 anos que o estudo de tais sistemas contínuos tem beneficiado de um processo de discretização das variáveis espaciais e temporais, que origina os chamados sistemas dinâmicos simbólicos. Chamam-se assim, porque cada uma das regiões do espaço resultantes do processo de discretização é representada por um símbolo.
A classificação de objectos, através da identificação de características comuns, é uma ideia recorrente na Matemática. Neste contexto, surge o interesse de averiguar quais as propriedades que são partilhadas por dois objectos identificados: tais propriedades dizem-se invariantes. Por exemplo, dois conjuntos munidos da estrutura de grupo são essencialmente o mesmo grupo se tiverem a mesma tabela de multiplicação (quando isso acontece, dizemos que os grupos são isomorfos); o número de elementos do grupo que são iguais ao seu inverso é um exemplo de uma propriedade invariante.
De um modo impreciso, dois sistemas dinâmicos são essencialmente o mesmo se tiverem a mesma dinâmica, se evoluírem do mesmo modo. Quando isso acontece, dizemos que os sistemas são conjugados. Neste oráculo, fazemos algumas profecias sobre propriedades de sistemas dinâmicos simbólicos que são invariantes por conjugação. Algumas dessas propriedades também são invariantes por equivalência de fluxo, uma relação que identifica sistemas (não necessariamente conjugados) cujas órbitas têm a mesma "forma".
14 de abril de 2012
Sílvia Barbeiro (Universidade de Coimbra)
Nesta sessão vamos começar por explorar modelos matemáticos simples para diversos fenómenos biológicos. Iremos resolver um conjunto de problemas relacionados com a ecologia, usando dados reais. Os participantes irão aperceber-se que os modelos que vamos considerar, apesar de simples e determinísticos, são fascinantes do ponto de vista matemático.
Os estudantes têm ainda oportunidade de discutir com a oradora alguns problemas que são objeto da sua investigação no DMUC: Como se remove o ruído em imagens médicas? Como se pode modelar o processo de remodelação óssea? Como se processa o transporte de contaminantes no subsolo? Estas são questões complexas que aparentemente não têm ligação entre si. No entanto, existem modelos matemáticos que unificam alguns aspetos destes problemas e que simulam os mecanismos que estão na sua base.
28 de junho de 2012
Olga Azenhas (Universidade de Coimbra)
Consideremos o anel Z[x_1,...,x_n] dos polinómios de coeficientes inteiros em n variáveis x_1,...,x_n. Um polinómio em Z[x_1,...,x_n] é dito simétrico se para toda a permutação das variáveis obtemos sempre esse polinómio. Se \lambda=(\lambda_1,...,\lambda_n) for o vetor formado pelos expoentes de um dos seus monómios, onde \lambda_i indica o expoente da variável x_i, isto equivale a dizer que toda a permutação das entradas de \lambda conduz sempre a um monómio com o mesmo coeficiente desse polinómio. Os polinómios simétricos constituem um subanel de Z[x_1,...,x_n] e podem então ser gerados por polinómios indexados por partições que resultam da simetrização de um monómio qualquer, entendendo-se por partição uma sequência finita de inteiros não negativos por ordem fracamente decrescente. Como os polinómios simétricos de grau elevado têm muitos monómios, como será de esperar, a melhor maneira de os estudar é encontrar um sistema de geradores que seja fácil de descrever. Uma das bases lineares mais importantes do anel dos polinómios simétricos é precisamente definida pelos chamados polinómios de Schur. Estes polinómios, indexados por partições, são explicitamente calculados por tableaux de Young, com formato a partição dada, no alfabeto 1,...,n, e os seus coeficientes são inteiros positivos, chamados números de Kostka. A decomposição do produto de dois polinómios de Schur em polinómios de Schur tem uma combinatória extremamente rica com consequências na teoria da representação de grupos e na geometria. Uma base para o anel dos polinómios de coeficientes inteiros e que, em particular, contém os polinómios de Schur é a dos polinómios de Schubert mas isso é uma outra história...
19 de julho de 2012
Edmundo J. Huertas Cejudo (Universidade de Coimbra)
Neste seminário apresenta-se um pequeno esboço da teoria dos polinómios ortogonais clássicos de uma variável contínua, com ênfase está nas propriedades de ortogonalidade e de base que eles têm. Também se discute brevemente algumas das aplicações dos polinómios ortogonais na teoria da aproximação, compressão de dados, telecomunicações, ótica e seu papel como soluções analíticas para a equação de Schrödinger do átomo de hidrogênio e do oscilador harmónico na física quântica.
(slides aqui)
10 de novembro de 2013
Eduardo Dias (Warwick University)
Seja [ABCDEF] um hexágono convexo com lados opostos paralelos. O problema de mostrar que as retas que unem os pontos médios de lados opostos são colineares foi-me proposto pelo professor Alexander Kovacec há cerca de 10 anos atrás. Neste oráculo veremos como este e outros problemas se podem resolver usando ideias de Geometria Algébrica.
Terminarei com uma pequena introdução ao problema em que tenho trabalhado no meu doutoramento: a construção de uma superfície semi-irregular que é uma cobertura do plano projectivo.
14 de dezembro de 2013
Margarida Melo (Universidade de Coimbra)
Faremos uma introdução à geometria algébrica e a algumas das técnicas que se utilizam nesta disciplina. Em particular, far-se-á a ligação entre a utilização clássica de técnicas de compatificação ou degeneração frequentes em geometria algébrica com a introdução da geometria tropical. Particular atenção será dada à noção de variedade projetiva e de espaço de moduli de curvas trabalhando exemplos das curvas planas clássicas e tropicais
15 de fevereiro de 2014
Filippo Viviani (CMUC / Universidade de Roma Tre)
O Teorema de Uniformização diz-nos que a cobertura universal de uma curva algébrica complexa pode ser ou a superficie de Riemann ou o plano complexo ou o disco unitário. Estas três coberturas universais correspondem aos três tipos de geometria: a elítica, a parabólica e a hiperbólica. O objetivo deste seminário é explicar o Teorema de Uniformização, bem como os três tipos de geometria.
22 de março de 2014
Ercília Sousa (Universidade de Coimbra)
Muitos fenómenos físicos são modelizados com as denominadas equações de derivadas parciais ou por outras ainda mais fascinantes denominadas de equações de derivadas fracionárias. Estas equações envolvem derivadas de ordem fracionária, isto é, de ordem não inteira. As derivadas fracionárias são muitas vezes referidas como sendo uma generalização das derivadas que conhecem. No entanto elas são muito mais do que generalizações.
Nesta apresentação partiremos da definição da derivada clássica e analisaremos como a partir daí se pode chegar à definição de uma derivada de ordem, por exemplo, 1/2. Pelo caminho serão observadas algumas das misteriosas contradições com que foram confrontados os matemáticos, desde o século XVII, nas suas várias tentativas de formalizar rigorosamente esta definição.
7 de Junho de 2014
Paulo Eduardo Oliveira (Universidade de Coimbra)
Faz-se uma introdução à noção de probabilidade como contagem generalizada. Analisando as propriedades do conjunto de resultados possíveis, introduz-se a noção de função de distribuição como forma geral de caracterização de probabilidades. Referem-se os casos de probabilidades discretas ou absolutamente contínuas, em que as probabilidades aparecem como áreas. Aborda-se em seguida o problema da aproximação da função de distribuição a partir de um conjunto de observações disponíveis. Mostra-se porque a regra de Laplace, que calcula quocientes de casos favoráveis sobre casos disponíveis, fornece aproximações para a função de distribuição. Em particular, mostra-se porque funcionam as leis dos grandes números. No final, aproveitam-se as ideias discutidas para uma breve referência aos métodos de estimação não paramétricos do núcleo.
25 de abril de 2015
Afonso Bandeira (universidade de Princeton)
Vamos comecar por apresentar o método probabilístico, frequentemente associado a Paul Erdös, e ilustrar a sua utilidade na estimativa do número de Ramsey. Usaremos técnicas semelhantes para descrever transições de fase de certas propriedades de grafos aleatórios fascinantes. Terminaremos com uma breve descrição de como este tipo de ferramentas são cruciais na resolução de problemas práticos sobre redes sociais e fotografia molecular.
8 de Maio de 2015
Joel Moreira (Ohio State University)
A Teoria de Ramsey lida com problemas que partilham a filosofia do famoso teorema de Ramsey sobre grafos, nomeadamente que numa coloracao finita de uma estrutura suficientemente grande existe uma sub-estrutura monocromática. A Teoria Ergódica lida com o comportamento a longo prazo de sistemas dinâmicos. Em 1977 Furstenberg conseguiu aplicar ideas e métodos de Teoria Ergódica para resolver problemas de Teoria de Ramsey. Assim nasceu a Teoria Ergodica de Ramsey.
Neste Oraculo apresentamos exemplos de resultados clássicos da Teoria de Ramsey e explicamos como a Teoria Ergódica pode ajudar a resolver alguns destes problemas. Também apresentamos alguns problemas em aberto de aparência muito simples.
25 de Junho de 2015
Andrea Montoli (Universidade de Coimbra)
Exploramos, através de vários exemplos, a noção de grupo fundamental dum espaço topológico, visto como uma "ponte" entre a Geometria e a Álgebra. Usando o grupo fundamental como exemplo chave, introduzimos os conceitos de categoria e de funtor entre duas categorias, mostrando como a linguagem categorial descreve bem esse tipo de fenómeno.
5 de Dezembro de 2015